«Хаос делает жизнь непредсказуемой, а значит, интересной»

Мельников Иоанн Евгеньевич

Математика — это не только формулы и доказательства, но и хаос, парадоксы, нерешенные задачи тысячелетия. Иоанн Мельников, преподаватель кафедры фундаментальной математики, стажер-исследователь Международной лаборатории динамических систем и приложений факультета информатики, математики и компьютерных наук НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде, рассказывает, как динамические системы помогают прогнозировать эпидемии и почему уединенные волны «захватываются» кораблями. А еще — о том, зачем студентам бесконечные пересдачи и чем камерное образование лучше массового.

 

— С чего начиналась ваша академическая карьера?

— Трудно сказать, с чего именно началась моя академическая карьера, если ее вообще можно назвать таковой. Скорее всего, со знакомства с научным руководителем — замечательным человеком профессором Ефимом Пелиновским. Меня сильно увлекли поставленные им задачи: в них нужно было использовать математику, но при этом они не были оторваны от реального мира. После второго курса накопленного материала совместной работы хватило для первой публикации, а последующие статьи органично вытекали из предыдущих.

Сейчас я оканчиваю магистратуру, а также веду семинары по математическому анализу и методам оптимизации. Мне очень нравится преподавать, и я хочу параллельно с наукой продолжать этим заниматься. Несколько лет назад я особо и не думал об этом, но в начале четвертого курса Марина Баринова (большое спасибо ей за оказанное доверие!) предложила мне стать ее ассистентом в курсе по математическому анализу, и я согласился. А дальше пошло-поехало, и преподавание меня увлекло. Если матанализ — это классический предмет, в котором есть устоявшаяся программа, есть определенный набор тем, которые необходимо пройти, то методы оптимизации — относительно новый предмет. Более того, он прикладной и сейчас активно используется, например, в машинном обучении. Поэтому на семинарах по методам оптимизации мне интересно делиться максимально актуальной информацией, и мы с Мариной Константиновной пытаемся найти оптимальный вариант программы.

— В чем специфика академического сообщества математиков?

— Наверное, главное, что нужно отметить, — это доказательства. Любое утверждение сопровождается доказательством, и поэтому с ним нельзя не согласиться, как это часто бывает в других науках. Однако математика не так скучна: здесь бывают и парадоксы, и недоказуемые утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках определенной теории.

Кроме того, чисто математические журналы часто бесплатные, и все публикации находятся в открытом доступе, что, конечно, делает обмен знаниями и в целом жизнь математиков намного проще.

— Есть ли в сообществе математиков понятие поколения: отличаются ли разные поколения математиков друг от друга, или математика всегда одна и та же? Если да, то в чем отличие вашего поколения?

— На мой взгляд, поколения людей отличаются друг от друга разными ценностями и роль профессии здесь не так важна. Конечно, есть направления в математике, которые на данный момент являются модными, и туда идет много молодых специалистов. Однако есть и такие направления (в математике, скорее всего, таких направлений больше), которые всегда были и будут. То есть можно сказать — да, основа математики всегда одна и та же. И здесь, наверное, дело в том, что большое количество очень просто звучащих математических утверждений на самом деле очень трудно доказать, поэтому в разных разделах математики остаются пробелы, которые нужно закрывать. Так, например, было с теоремой Ферма, сформулированной Пьером Ферма в 1637 году, а доказанной только в 1994 году английским математиком Эндрю Уайлсом с коллегами. Да что далеко ходить! Гипотеза о том, что чисел-близнецов, то есть простых чисел (натуральных чисел больше единицы, которые делятся только на себя и на единицу), отличающихся на двойку (например 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13), бесконечно много, до сих пор не доказана. Понять формулировку может любой школьник, а доказать — пока что никто. Остаются нерешенными часть проблем Гильберта. Шесть из семи задач тысячелетия требуют решения, поэтому каждый математик может выбрать раздел математики себе по душе.

— Чем измеряется профессиональный успех математика сегодня? Каких вершин вы бы хотели достичь в профессии?

— Конечно, есть формальные метрики, которыми пользуются государства и университеты при измерении успеха деятельности того или иного математика, да и не только математика, — это количество публикаций и индекс Хирша. Отражает ли это реальный профессиональный успех? Скорее всего, нет. Можно написать большое количество статей, в которых используется один и тот же метод, и, по сути, эти работы не дают ничего нового. С другой стороны, можно написать всего одну работу, но она полностью перевернет ту или иную область математической науки или сама станет основой нового направления. Мне кажется, реальный успех для математика — когда он решает сложную, поставленную им самим перед собой задачу: доказывает важную теорему или придумывает контрпример, который опровергает ту или иную гипотезу, предлагает новый подход или метод для решения определенного класса задач. По поводу своего места в науке и того, каких вершин в этой профессии я хочу достичь, я еще не задумывался. Хочется как можно выше, конечно.

Иоанн Мельников

— Что такое «динамические системы»? Какое место это направление занимает в современной науке и в вашей профессиональной биографии?

— В математике под динамическими системами подразумевают конкретное понятие. Если говорить в общих чертах и не совсем строго, то динамическая система состоит из трех компонент: фазового пространства (пространства, элементы которого описывают состояния системы), времени, которое может быть дискретным или непрерывным, идти только вперед (необратимые процессы) или в любую сторону (обратимые процессы), и закона эволюции системы, который позволяет определить состояние системы во все будущие моменты времени (а для обратимых систем также во все прошлые моменты времени), исходя из состояния системы в любой данный момент времени. Простейшим примером динамической системы может служить логистическое отображение, которое применяется, например, для прогнозирования числа больных при распространении эпидемии. В разделе динамических систем в центре внимания стоит важный с практической точки зрения вопрос: какое асимптотическое поведение у этой системы (что будет с системой, если устремить время к бесконечности)? В примере с логистическим отображением это вопрос «Какое число людей будет заражено к концу эпидемии?». Даже на таком простом примере видно, что динамические системы занимают почетное место в современной науке, поскольку все интересуются своим будущим, всем нужен прогноз на будущее. Интересно, однако, что даже в одномерных отображениях в динамических системах может наблюдаться хаос, и тогда определение будущего сильно зависит от того, насколько точно мы можем определить свое состояние в настоящем. Хаос мешает нам определять погоду на продолжительные отрезки времени, поскольку точно определить в настоящий момент времени температуру в каждом уголке, например, Нижнего Новгорода просто не представляется возможным. Поэтому хаос делает нашу жизнь непредсказуемой, а значит, интересной.

Динамические системы возникают во многих физических задачах, поскольку второй закон Ньютона представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, которое и задает динамическую систему. Более того, многие другие процессы в природе и в обществе, например динамика цен акций или опционов, рост численности популяции, работа сердца и мозга, с определенной точностью моделируются динамическими системами. Динамическим системам посвящено множество публикаций и книг. Если вас заинтересует это направление, обязательно посмотрите книгу Анатолия Катка и Бориса Хасселблата «Введение в современную теорию динамических систем». У нас в лаборатории она служит без преувеличения главным справочником и библией.

В моей научной деятельности динамическая система возникает при изучении уединенной волны (солитона), которая взаимодействует с внешней силой (например, с кораблем). Такое взаимодействие может быть описано в рамках уравнений типа КдФ (Кортевега — де Фриза). После стандартных асимптотических разложений можно получить динамическую систему, которая задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений и описывает эволюцию амплитуды уединенной волны и ее положение относительно внешней силы. Мы определяли условия «захвата» уединенной волны внешней силой, то есть такой ситуации, при которой уединенная волна долгое время остается рядом с источником внешнего возмущения (например, с кораблем).

— В чем особенность российского математического образования и организации математических исследований в российских университетах, в частности в Вышке?

— Одной из особенностей математического образования у нас в стране является то, что практически все лекции и семинары пишутся на доске. Нет презентаций, в которых информация появляется на долю секунды и затем бесследно исчезает. Мне это очень нравится, ведь, когда пишешь, намного лучше усваиваешь материал. Иногда приятно обогнать лектора, придумав доказательство быстрее, чем оно появилось на доске.

Еще я бы выделил бесконечное число попыток пересдать контрольную работу. Контрольные работы бывают достаточно сложными, и решить все задачи сразу не удается. У нас существует отдельная практика на этот счет — досдачи, на которые студенты приносят свои не решенные на контрольных работах задачи и рассказывают их решения преподавателям. При этом преподаватели по ходу рассказа задают большое количество вопросов по теории, чтобы убедиться, что человек действительно понимает, как решать ту или иную задачу. Иногда вопрос, полученный от преподавателя, намного сложнее самой задачи, а иногда и сам преподаватель не знает ответа на свой вопрос. На досдачах всегда кто-то узнает что-то новое. Я считаю, что это очень хорошая практика, поскольку она позволяет студентам научиться именно понимать математику, а не зазубривать материал от контрольной к контрольной.

Однажды я по программе академической мобильности уезжал на полгода учиться в московский кампус Вышки и могу выделить еще одну особенность. На каждой кафедре один и тот же раздел математики подается через ее специализацию. То есть в Нижнем Новгороде большинство математических предметов идет с примерами из области динамических систем, в Москве же, как мне показалось, — с примерами из алгебры и теории представлений.

Главное преимущество кафедры фундаментальной математики в Нижнем Новгороде — это небольшое количество студентов. Благодаря этому у преподавателей есть время для подробного обсуждения вопросов, проведения дополнительных консультаций, в целом образование становится более камерным. К преподавателю можно подойти после лекции, и он уделит тебе время, а ты получишь ответы на все интересующие тебя вопросы.

17 июня