«Мы с вьетнамскими коллегами хорошо друг друга дополняем»

Schola продолжает знакомить вас с победителями первого конкурса фундаментальных проектов «Международное академическое сотрудничество». В сегодняшнем номере Иван Аржанцев, декан факультета компьютерных наук, заведующий Научно-учебной лабораторией алгебраических групп преобразований, рассказывает о новом совместном проекте с Институтом математики Ханоя. Работа будет проходить в рамках соглашения между НИУ ВШЭ и Ханойским государственным университетом. Обмен экземплярами соглашения состоялся во время недавнего визита российской делегации во Вьетнам.

Аржанцев Иван Владимирович

— Как возникла идея совместного проекта с Институтом математики Ханоя?

— В комплексном анализе геометрические объекты с богатыми группами симметрий появились еще в начале ХХ века. Позже эстафета перешла к алгебраической геометрии, где изучали и классифицировали алгебраические многообразия с большими группами автоморфизмов. В 1990-х годах появились первые примеры аффинных алгебраических гиперповерхностей, на которых любой конечный набор точек можно с помощью подходящего автоморфизма перевести в любой конечный набор той же мощности. В 2013 году в Duke Mathematical Journal вышла наша совместная работа с коллегами из Германии, США, Франции и Швейцарии, где были определены гибкие аффинные алгебраические многообразия. Одним из эквивалентных определений гибкости является требование транзитивности действия группы специальных автоморфизмов на конечных наборах гладких точек одинаковой мощности. Оказалось, что класс гибких аффинных многообразий очень широк, то есть для многих алгебраических подмножеств в аффинных пространствах все конечные наборы гладких точек одной мощности равноправны.

Одновременно с этим сотрудник нашей лаборатории Александр Перепечко обнаружил и опубликовал замечательный критерий гибкости аффинного конуса над проективным многообразием. За прошедшие десять лет вышло много работ, посвященных гибкости тех или иных многообразий. В частности, мы обратили внимание на результаты вьетнамских коллег, касающиеся гибкости аффинных конусов над проективными многообразиями в размерностях 3 и 4. Александр связался с профессором Труонгом (Le Truong Hoang) из Института математики Ханоя, и они начали обсуждать варианты совместной работы. В это время в Вышке объявили конкурс международных научных проектов, и мы решили подать заявку на совместный проект.

— Как складывалась история сотрудничества лаборатории Вышки и Института математики Ханоя?

— До сих пор все контакты происходили только дистанционно. Когда мы предложили вьетнамским коллегам создать зеркальную лабораторию, они сразу согласились, активно работали над содержательной частью заявки, удивительно быстро присылали все необходимые документы и согласовывали формальные показатели. Следует отметить высокий уровень публикаций членов вьетнамской команды: все участники регулярно публикуются в международных математических журналах самого высокого уровня вплоть до Inventiones Mathematicae.

Документы на конкурс были отправлены в срок, и через некоторое время мы узнали, что наш проект вошел в число победителей. После этого надлежало подписать соглашение о сотрудничестве с зарубежным партнером, и оказалось, что на уровне Института математики этот вопрос не решить, нужно одобрение Вьетнамской академии наук и технологий (ВАНТ), в состав которой входит институт. Мы направили в ВАНТ письма с описанием проекта, и через некоторое время состоялась онлайн-встреча, в которой со стороны НИУ ВШЭ участвовали директор по перспективным научным исследованиям Марина Литвинцева, замначальника Управления международного партнерства София Садыкова, директор Центра развития перспективных научных исследований Екатерина Николаева, а также сотрудники Лаборатории алгебраических групп преобразований, образующие российскую команду проекта. Вьетнамскую сторону представляли руководители Института математики Ханоя и эксперты ВАНТ. В процессе обсуждения выяснилось, что многие старшие вьетнамские коллеги учились в специалитете и аспирантуре в Москве, Минске и других городах Советского Союза. Один из наших собеседников с вьетнамской стороны в свое время работал под руководством выдающегося математика Юрия Манина и отлично разбирается в московской математической жизни. Коллеги проявили большую заинтересованность в сотрудничестве не только с факультетом компьютерных наук, но и с факультетом математики НИУ ВШЭ.

После встречи началась двусторонняя работа по согласованию текста соглашения. В ходе июньского визита во Вьетнам делегации НИУ ВШЭ под руководством проректора Виктории Пановой соглашение о сотрудничестве между Институтом математики Ханоя и Вышкой было подписано. Теперь все готово для старта проекта.

— В чем актуальность таких исследований?

— Одна из основных целей проекта — получение новых знаний об алгебраических многообразиях, их геометрических свойствах и симметриях. Разработанные в последние годы методы должны привести к принципиально новым результатам, и здесь мы с вьетнамскими коллегами хорошо друг друга дополняем. Например, доказательство гибкости аффинного конуса над проективным многообразием требует, с одной стороны, глубоких знаний в области проективной геометрии и владения аппаратом современной коммутативной алгебры, и все это есть у вьетнамской команды. С другой стороны, нужно понимать специфику аффинных многообразий и использовать технику алгебраических групп преобразований, а это уже сильная сторона нашей лаборатории. Помимо гибкости, мы хотели бы продвинуться в изучении аддитивных действий с помощью соответствия Хассетта — Чинкеля. Это соответствие позволяет интерпретировать структурные результаты из коммутативной алгебры, в том числе полученные вьетнамскими коллегами, в терминах геометрии действия векторной группы на проективных многообразиях. Эта тема заинтересовала команду наших партнеров, для них она является абсолютно новой.

Помимо получения теоретических результатов, мы планируем создать базу данных, агрегирующую свойства определенных многообразий, и написать несколько пакетов программ и фреймворков. Последние обеспечат дополнительные вычислительные возможности для работы с комбинаторными объектами (конусами и веерами конусов, решетками и системами корней), возникающими в современной алгебраической геометрии. Понимание структуры таких объектов является ключевым этапом в доказательстве многих важных результатов, и численные эксперименты здесь очень полезны. У вьетнамских коллег в этом направлении есть значительный задел, и нам нужно не отставать.

— Каковы перспективы у вашего проекта?

— За три года предстоит сделать многое. Важно понимать, что получение гранта или победа в конкурсе — это не только пряник, но и серьезный кнут. На этапе подготовки заявки мы пишем о том, что хотелось бы доказать по заявленной теме, какие результаты сделали бы эту область математики более совершенной, позволили бы объяснить накопленные наблюдения и закономерности. В такие моменты прагматизм часто не выдерживает натиска фантазии. А когда заявка уже выиграна, планы превращаются в обязательства, и все намеченное нужно реализовать. Это серьезный вызов, но тем интереснее работать.

Российская команда проекта состоит из двенадцати человек, включая четверых кандидатов наук, троих аспирантов и четверых студентов. Мы разделили проект на четыре направления. Первое посвящено гибкости аффинных конусов, второе — гибкости аффинных многообразий с заданным действием алгебраической группы, третье — изучению аддитивных действий, а четвертое — разработке базы данных, пакетов программ и фреймворков. По второму направлению серьезный задел есть у Сергея Гайфуллина и Антона Шафаревича. По третьему направлению мы с Юлией Зайцевой недавно опубликовали обзор в журнале «Успехи математических наук», в этой же области яркие результаты получил Иван Бельдиев. Наш коллектив разделился на четыре пересекающиеся группы, которые вместе с вьетнамскими коллегами будут работать по этим направлениям. В 2024 году у нас запланирован совместный онлайн-семинар, в мае 2025 года мы надеемся провести в Ханое совместную школу для молодых ученых и конференцию по тематике проекта для опытных исследователей. В июне 2026 года аналогичные мероприятия пройдут в Москве. Также мы планируем проводить в Вышке ежегодные спецкурсы и семинары для студентов по теме нашей зеркальной лаборатории, что позволит привлечь в проект новых молодых участников.

 

27 июня