«Яркое событие мировой математической жизни» – Новости – Schola – Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Завершилась совместная конференция Высшей школы экономики и Пекинского института математических наук и приложений (Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications, BIMSA) по алгебраической геометрии и математической физике.

Данная конференция открывает новый совместный научный проект «Геометрия и Физика», который выполняется в рамках программы «Международное академическое сотрудничество». Профессор Валерий Гриценко, заведующий Международной лабораторией зеркальной симметрии и автоморфных форм (МЛЗС), рассказал о проекте и конференции.

Профессор Николай Решетихин, (научный сотрудник Пекинского института математических наук и приложений (BIMSA), заведующий лабораторией математической физики BIMSA, лауреат Премии Вейля — Вигнера за выдающийся вклад в исследования фундаментальной физики с помощью теории групп) один из участников конференции, рассказал о своем научном пути и ключевых интересах в квантовой теории поля и теории представлений, объяснил важность квантовых групп — алгебраических структур с широким спектром применений, от квантовых вычислений до топологии, а также осветил нерешенные проблемы в этой области, сравнимые с задачами тысячелетия.

Валерий Гриценко

Зеркальная симметрия была открыта физиками в 1990-х годах. Она возникла в форме двойственности между суперконформными теориями поля. Математическая теория зеркальной симметрии активно развивается в XXI веке. Недавний прогресс в изучении зеркальной симметрии открыл глубокую связь между гипотезой зеркальной симметрии и бирациональными и симплектическими инвариантами алгебраических многообразий. Большую роль в исследованиях в этом направлении сыграли российские и китайские математики. Мультидисциплинарность природы зеркальной симметрии объясняет тот факт, что наш совместный проект рассчитан на сотрудничество с двумя лабораториями BIMSA: алгебраической геометрии (руководитель проф. Артан Шешмани) и теоретической физики и общей теории относительности (руководитель проф. Николай Решетихин). Основное направление проекта — разработка подходов, объединяющих различные разделы математики и математической физики для построения новых бирациональных инвариантов алгебраических многообразий и изучения различных автоморфных производящих функций, связанных с многообразиями и физическими теориями.

Несколько слов о нашем научном партнере — Пекинском институте математики и ее приложений Университетa Цинхуа (BIMSA). В декабре 2009 года в Университете Цинхуа был создан Центр математических наук Яу (YMSC), всего за десять лет ставший главным математическим центром Китая, существенно влияющим и на международную математическую повестку. Его возглавил всемирно известный математик, работы которого изменили лицо геометрии, математической и теоретической физики, — Шинтун Яу. В его честь названы многообразия Калаби — Яу, которые приобрели огромное значение не только в математике, но и в физике, где они легли в основу теории струн. В области фундаментальной математики и математической физики имя Шинтун Яу имеет вес, наверное, больший, чем имя Уоррена Баффетта в мире инвестиций. В 2020 году при Университете Цинхуа был создан еще один математический институт — BIMSA, одной из главных задач которого была объявлена подготовка молодых ученых. YMSC и BIMSA предлагают исключительные условия для профессиональной деятельности, поэтому многие математики с мировым именем переехали на постоянную работу в Китай. Отмечу, что BIMSA полностью финансируется правительством Пекина. Опыт BIMSA — прекрасный пример организации и финансирования научной деятельности в Китае, на который стоит обратить внимание.

На конференции мы обсудили последние результаты в области алгебраической геометрии и математической физики. Одно из главных направлений совместного проекта с BIMSA — развитие подходов, объединяющих различные разделы математики и математической физики, для конструкции новых бирациональных инвариантов алгебраических многообразий. Отмечу, что Николай Решетихин — известнейший ученый именно в области математической физики. По данной теме мы с огромным интересом следили за докладом Максима Концевича. Он один из известнейших ученых-теоретиков мира. Посмотрите список его премий в области математики и физики!

Конференция безусловна идет по тематике проекта с BIMSA. Важнейшая методологическая особенность исследований в области зеркальной симметрии состоит в том, что новые идеи, возникшие в теоретической физике, находят свое развитие в математике, а новые математические результаты получают интерпретации в теоретической физике. Одна из наших задач — построение и изучение новых алгебраических, бирациональных и категорных инвариантов многообразий, основанных на идеях зеркальной симметрии. Подобное новейшее направление — математическая теория спектров Громова — Виттена — является революционным подходом к бирациональной геометрии. Важнейшим приложением этой теории может стать доказательство нерациональности общей четырехмерной кубики, знаменитой нерешенной проблемы классической алгебраической геометрии.

Глобальная задача лаборатории на перспективу — показать или опровергнуть рациональность многих многообразий различной размерности. В настоящее время ведется завершающая работа по оформлению всех деталей доказательства иррациональности бесконечной серии специальных четырехмерных многообразий, модулей поляризованных обобщенных многообразий Куммера (этот вопрос поставлен более тридцати лет назад). Последние многообразия образуют важнейшую серию так называемых гиперкэлеровых многообразий, которые дополняют многообразия Калаби — Яу в классификации компактных кэлеровых многообразий с тривиальным первым классом Черна. Существование гиперкэлеровых многообразий было предсказано научным руководителем Лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений НИУ ВШЭ академиком Федором Богомоловым в 1974 году!

На конференции выступили онлайн три лауреата Филдсовской премии:

— Каушер Биркар (Caucher Birkar) (BIMSA, Fields Medal, 2018);

— Максим Концевич (IHES, Fields Medal, 1998);

— Андрей Окуньков (Berkeley, Fields Medal, 2006).

Состоялись и очные выступления выдающихся математиков.

— Дмитрий Орлов (MIAN, Academician of RAS), прознанный лидер современной российской школы алгебраической геометрии;

— Александр Кузнецов (MIAN/HSE, Corresponding member of RAS);

— Юрий Прохоров (MIAN/HSE, Corresponding member of RAS);

— Людмил Кацарков (Maiami/HSE), научный руководитель МЛЗС НИУ ВШЭ;

— Дмитрий Каледин (HSE/MIAN) заведующий ЛАГ НИУ ВШЭ;

— Валерий Гриценко (HSE/Lille), заведующий МЛЗС, научный руководитель проекта «Геометрия и Физика» со стороны НИУ ВШЭ;

— Николай Решетихин (BIMSA), заведующий лабораторией мат. физики BIMSA, научный руководитель проекта «Геометрия и Физика» со стороны BIMSA;

— Артан Шешмани (Artan Sheshmani) (BIMSA) заведующий лабораторией алгебраической геометрии BIMSA, научный руководитель проекта «Геометрия и Физика» со стороны BIMSA.

Особенность данной конференции — большая молодежная секция из 14 докладов молодых талантливых математиков из России и Китая.

Добавлю, что это уже третье крупное совместное научное мероприятие НИУ ВШЭ и BIMSA. Первым событием была совместная конференция нашей лаборатории и BIMSA «Геометрия и Физика» в августе 2023, которая и определила основное направления сотрудничества. Летом этого года в Пекине прошла мемориальная школа памяти Игоря Кричевера, который возглавлял программу «Математическая физика» в НИУ ВШЭ. На всех совместных мероприятиях выступают выдающиеся ученые, определяющие развитие мировой математики, что превращает конференции в яркие события мировой математической жизни.

Николай Решетихин, научный сотрудник Пекинского института математических наук и приложений (BIMSA), заведующий лабораторией математической физики BIMSA, лауреат Премии Вейля — Вигнера за выдающийся вклад в исследования фундаментальной физики с помощью теории групп (2022)

— Как Вы пришли к интересу в области квантовой теории поля и теории представлений?

Мой интерес к устройству квантового мира впервые проявился после короткой лекции отца о том, что атомы намного меньше пылинок, видимых в солнечном луче. Это любопытство только усилилось, когда в 12 лет я прочитал перевод номера журнала “Scientific American”, посвященного ускорителям и микромиру. Затем последовало увлечение журналами «Квант» и популярной литературой о физике и математике. Постепенно мой интерес сфокусировался на области симметрий, особенно симметрий в квантовой механике и связанными с этим математическими проблемами.

Дальнейшее развитие моего интереса к симметриям в квантовой физике произошло благодаря лекциям Виктора Николаевича Попова о методах функционального интегрирования. Особенно увлекательной частью этих лекций были калибровочные теории с бесконечномерными группами симметрий. Затем последовал семинар Людвига Дмитриевича Фаддеева, где квантовая теория поля и симметрии играли центральную роль.

Важной вехой стала совместная работа с Петром Петровичем Кулишем над квантовыми интегрируемыми системами, которую можно рассматривать как прикладную теорию представлений. Значимым периодом для меня было время работы в ЛОМИ, в лаборатории Фаддеева, и посещение семинара Анатолия Моисеевича Вершика.

Постепенно мои интересы смещались в сторону математики, особенно теории представлений — области, описывающей симметрии в квантовой физике. Этот математический аппарат стал для меня ключом к пониманию фундаментальных принципов устройства квантового мира.

— Квантовые группы — это достаточно сложный объект. Как бы вы объяснили их значение и применение в современных исследованиях, влияние на другие разделы математики?

Квантовые группы — это алгебраические структуры, наиболее адекватно описывающие свойства многих интегрируемых систем, в частности, интегрируемых квантовых теорий поля. Именно в этом контексте они изначально и появились. С математической точки зрения, квантовые группы представляют собой весьма интересный объект, обобщающий понятие группы, с богатой теорией представлений.

Однако, как оказалось, применение квантовых групп выходит далеко за рамки интегрируемых систем. За последнее десятилетие они нашли свое место в моделях квантовых вычислений, а тесно связанные с представлениями квантовых групп модулярные категории использовались в теории топологических изоляторов и других областях.

Квантовые группы также позволили построить новые инварианты узлов и трехмерных многообразий. Я убежден, что эти алгебраические структуры найдут еще множество интересных применений как в математике, так и в теоретической физике. Их потенциал в описании фундаментальных свойств квантовых систем и топологических объектов еще предстоит полностью раскрыть.

— Есть ли сейчас в математической физике неразрешенные задачи, схожие с задачами тысячелетия?

— Безусловно, такие задачи существуют. Я не смогу перечислить их все, но упомяну некоторые, которые мне кажутся наиболее значимыми. Одной из открытых проблем является построение математически осмысленной теории локальных квантовых полей в рамках стандартной модели. Большинство существующих результатов в той или иной степени опираются на формальные ряды теории возмущений. Непертурбативная локальная квантовая теория поля пока успешно построена только для двумерных интегрируемых моделей и для трехмерных топологических теорий поля. Эта проблема тесно связана с одной из задач тысячелетия.

Другой фундаментальной задачей является углубление нашего понимания гравитации, как классической, так и квантовой. Создание теории квантовой гравитации, т.е. теории совместимой с принципами общей теории относительности и квантовой механики, остается одной из главных целей теоретической и математической физики.

Наконец, существует множество открытых вопросов в области статистической механики, связанных с поведением сложных систем многих частиц, фазовыми переходами и неравновесными процессами. Решение этих проблем потребует новых подходов на стыке математики и физики.

— Есть ли наиболее популярные направления исследований в математической физике?

— В математической физике действительно существует множество популярных направлений, но я бы хотел сосредоточиться на тех, которые считаю наиболее важными. Разумеется, это мое личное видение вопроса, я не претендую на объективность.

Одним из ключевых направлений является улучшение математического понимания моделей фундаментальных взаимодействий. Иными словами, важнейшей задачей является развитие методов для более точного количественного описания базовых физических теорий. Здесь важную и интересную роль занимает теория струн. По прежнему актуальной темой является теория интегрируемых систем. Совершенствование математического аппарата для анализа турбулентности и низкоэнергетических квантовых систем также представляется мне одной из важнейших задач.

На стыке геометрии и физики находится ряд интригующих проблем. Среди них — более глубокое понимание зеркальной симметрии, удивительной теории, связывающей классическую геометрию и квантовую физику. Эта область исследований открывает новые грани взаимосвязи между, казалось бы, далекими разделами математики и физики.

Другим важнейшим направлением является изучение калибровочных квантовых теорий поля, особенно топологических квантовых теорий поля. Здесь удивительным образом переплетаются теория представлений и самые современные разделы геометрии. Прогресс в этой области может привести к прорывам как в понимании фундаментальной структуры пространства-времени, так и в развитии новых математических методов.

14 ноября